En lien avec les probabilités - Polynésie, mars 2023 (partiel)

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie à la fin de l’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

• si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans  \(90\,\%\) des cas le jour suivant ;
  
• si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans  \(70\,\%\) des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
  

On note pour tout entier naturel  \(n\) :

• \(R_n\)  l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la  \(n^{ieme}\) séance » ;
  
• \(p_n\)  la probabilité de l’événement \(R_n\) . On considère que \(p_0=0,6\) .
  

1. Soit  \(n\) un entier naturel. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel \(n\) , on a :  \(p_{n+1}=0,6p_n+0,3\) .

3. On considère la suite  \((u_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\) , par \(u_n=p_n-0,75\) .
    a. Démontrer que la suite  \((u_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    b. Démontrer que, pour tout entier  \(n\) naturel  \(n\) :  \(p_n=0,75-0,15\times0,6^n\) .
    c. En déduire que la suite  \((p_n)\) est convergente et déterminer sa limite \(\ell\) .
    d. Interpréter la valeur de  \(\ell\) dans le cadre de l’exercice.