En lien avec les probabilités - Polynésie, mars 2023 (partiel)

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie à la fin de l’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

• si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans  $90\mathrm{\%}$ des cas le jour suivant ;
  
• si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans  $70\mathrm{\%}$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
  

On note pour tout entier naturel  $n$ :

• $R_n$  l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la  $n^{ieme}$ séance » ;
  
• $p_n$  la probabilité de l’événement $R_n$ . On considère que $p_0=0,6$ .
  

1. Soit  $n$ un entier naturel. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

2. Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$ , on a :  $p_{n+1}=0,6p_n+0,3$ .

3. On considère la suite  $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $u_n=p_n-0,75$ .
    a. Démontrer que la suite  $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    b. Démontrer que, pour tout entier  $n$ naturel  $n$ :  $p_n=0,75-0,15\times 0,6^n$ .
    c. En déduire que la suite  $(p_n)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$ .
    d. Interpréter la valeur de  $\ell$ dans le cadre de l’exercice.